1.1.4. Relaciones y funciones

Las relaciones y funciones pueden hacerse con más facilidad mediante el producto cartesiano de conjuntos. En efecto la relacion se la hace analizando todo subconjunto del producto cartesiano. Por ejemplo, dado un conjunto P de personas que conforman una familia.
P = {Pedro, Roxana, Carla, Pablo, Tomas}
Para poder analizar la relación "x" es padre de "y" debemos primero hacer el producto cartesiano del conjunto P.
P x P = { (Pedro, Pedro), (Pedro, Roxana), (Pedro, Carla), (Pedro, Pablo), (Pedro, Tomas), (Roxana, Pedro), (Roxana, Roxana), (Roxana, Carla), (Roxana, Pablo), (Roxana, Tomas), (Carla, Pedro), (Carla, Roxana), (Carla, Carla), (Carla, Pablo), (Carla, Tomas), (Pablo, Pedro), (Pablo, Roxana), (Pablo, Carla), (Pablo, Pablo), (Pablo, Tomas), (Tomas, Pedro), (Tomas, Roxana), (Tomas, Carla), (Tomas, Pablo), (Tomas, Tomas) }.
Ahora analizando los subconjuntos del resultado se saca la relación siguiente: { (Pedro, Carla), (Pedro, Pablo), (Pedro, Tomas), (Roxana, Carla), (Roxana, Pablo), (Roxana, Tomas) } la cual nos muesta que Pedro como Roxana son padres de Carla, Pablo y Tomas.
También se puede tener relaciones que no involucren a todos los elementos como:a) "x" es hermano de "y"Analizando los subconjuntos tenemos la relación siguiente: { (Tomas, Carla), (Tomas, Pablo) }, la cual nos muestra que Tomas es hermano de Carla y Pablo.b) "x" es pareja de "y"En esta relación solo tenemos un subconjunto, que es: { (Pedro, Roxana) }, el cual nos muestra que Pedro es pareja de Roxana.
Se llama inverso de una relación R, expresado por R^-1, a aquella en donde se cambia el orden de los pares ordenados, es decir:

external image gif.latex?R%5E%7B-1%7D=%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%20y,%20x%20%5Cright%20)%20%5Cright%20%5Cmid%20%5Cleft%20(%20x,%20y%20%5Cright%20)%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cright%20%5C%7D%5Cright%20%5C%7D


Ej: inverso de la relación: { (1,4),(2,3),(3,5) } es igual a { (4,1),(3,2),(5,3)}.
Una relación binaria R sobre un conjunto A, es reflexiva o refleja, si todo elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R.
La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado(A, R).
Es decir:
external image f0439e0567e1cee0d3b35b597a5b8b33.png
Por ejemplo A= {1, 2, 3} la relación sería: {1, 2, 3} x {1, 2, 3} = { (2, 2), (2, 3), (3, 3) ,(1, 2), (1, 1), (1, 3)}.
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reflexividad.
Pero no lo hace con los elementos:{(2, 2), (2, 3), (1, 2), (1,1), (1, 3) }. Porque no todos los elementos de A estan relacionados consigo mismos mediante R, entonces decimos que es irreflexiva, antirreflexiva o antirrefleja, lo que se denota por:

external image e57df4b23dbe8a55753aa305d97ee3ad.png
En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.
Simetría:Decimos que una relación es simétrica cuando contiene un par ( y , x ) para cada par ( x ,y ).Por ejemplo: Una relación que sería simétrica es la siguiente:external image gif.latex?A%20=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%201,%202%20%5Cright%20),%5Cleft%20(%202,%201%20%5Cright%20)%20%5Cright%20%5C%7DUna relación que no cumpliría con la relación de simetría sería la siguiente:external image gif.latex?B%20=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%201,%202%20%5Cright%20),%5Cleft%20(%202,%203%20%5Cright%20)%20%5Cright%20%5C%7D

Transitividad:Decimos que una relación es transitiva cuando se cumple que:1) La relación incluye un par ordenado (x,y) y uno (y,z).2) La relación contiene un par (x,z).

Usando un ejemplo de la vida real, hacemos la primera relación (x, y) Gaston es mayor que Juan. La segunda relación (y, z) Juan es mayor que Fabián. Por ende para que la relación sea transitiva tiene que contener el par (x, z), la cual es la relacion Gaston es mayor que Fabián.
Cerraduras:Las relaciones entre conjuntos pueden tener grupos de pares ordenados llamados "cerraduras".Una cerradura contiene los SÓLO los elementos específicos para completar una condición en una relación.Existen cerraduras de los siguientes tipos:
Cerradura reflexiva: Es el añadido de pares ordenados a un conjunto para volverlo reflexivo.Ej: external image gif.latex?A%20=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%201,%201%20%5Cright%20),%5Cleft%20(%201,%202%20%5Cright%20)%20%5Cright%20%5C%7D La cerradura A no es reflexiva pues le falta el par ordenado (2,2), entonces se prosigue a agregar este par ordenado, necesario, para que se vuelva reflexiva. Por ende la cerradura reflexiva es la siguiente:external image gif.latex?A%20=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%201,%201%20%5Cright%20),%5Cleft%20(%201,%202%20%5Cright%20)%20%5Cright,%20%5Cleft%20(2,%202%20%5Cright%20)%20%5C%7D
Cerradura simétrica: Es el añadido de pares ordenados a un conjunto para volverlo simétrico.Ej: external image gif.latex?A%20=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%201,%201%20%5Cright%20),%5Cleft%20(%201,%202%20%5Cright%20)%20%5Cright,%20%5Cleft%20(2,%203%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(%201,%203%20%5Cright%20)%20%5C%7DLa cerradura A no es simétrica pues el par ordenado (1,2) no tiene un elemento simétrico (2,1). Como también faltaría los pares (3, 1) y (3, 2). Añadiendo los anteriores pares ordenados se obtiene la cerradura simétrica siguiente:external image gif.latex?A%20=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%201,%201%20%5Cright%20),%5Cleft%20(%201,%202%20%5Cright%20)%20%5Cright,%20%5Cleft%20(2,%203%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(%201,%203%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(%202,%201%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(%203,%201%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(%203,%202%20%5Cright%20)%5C%7D
Cerradura transitiva: Es el añadido de pares ordenados a un conjunto para volverlo transitivo.Ej: external image gif.latex?A%20=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%205,%201%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(%201,%203%20%5Cright%20)%20%5Cright%20%5C%7D A no es transitiva pues el pare ordenado (x, y) no está presente. Éste par ordenado (5, 3) es la cerradura simétrica del conjunto A.
external image gif.latex?A%20=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%205,%201%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(%201,%203%20%5Cright%20)%20,%20%5Cleft%20(%205,3%20%5Cright%20)%5Cright%20%5C%7D.






Las funciones son un tipo especial de relaciones entre los elementos de dos conjuntos. Podemos definir una función como un conjunto de pares ordenados (x,y), donde el primer componente no debe repetirse.Ej: external image gif.latex?%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%204,5%20%5Cright%20),%5Cleft%20(%205,6%20%5Cright%20),%5Cleft%20(%206,7%20%5Cright%20)%20%5Cright%20%5C%7DSe dice que f : A ® B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B). El dominio es el conjunto de los primeros componentes de la función. El codominio (también llamado rango o imagen) es el conjunto de los segundos componentes.

Función total:
Una función es total cuanto se define para todos los elementos del dominio, como por ejemplo la función cuadrado, a diferencia de una función parcial que no esta definida para todos los elementos del dominio. Por ejemplo la función resta:
Ejemplo: el par ordenado (3, 5) no tiene un resultado dentro de external image gif.latex?%5Cmathbb%7BN%7D (el resultado sería -2) y por lo tanto no forma parte del dominio de la función.
Función inyectiva:
Una función es llamada inyectiva cuando para cada elemento del codominio hay un único elemento del dominio, es decir que dos pares ordenados no pueden tener el mismo codominio.
Ejemplo: La función external image gif.latex?%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%201,%202%20%5Cright%20)%20,%20%5Cleft%20(%202,3%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(%203,3%20%5Cright%20)%5Cright%20%5C%7D no es inyectiva porque los pares (2, 3) (3, 3) tienen a 3 como codominio, pero la función external image gif.latex?%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%201,%202%20%5Cright%20)%20,%20%5Cleft%20(%202,3%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(%203,1%20%5Cright%20)%5Cright%20%5C%7Dsí lo es.

Función sobreyectiva:
Una función es sobreyectiva si todos los elementos del codominio aparecen en algún par ordenado.
Ejemplo: Por ejemplo, la función cuadrado que presentamos antes no es sobreyectiva, pues hay muchos números, como el 7, que no son el cuadrado de ningún otro.
Si una función es inyectiva y sobreyectiva a la vez recibe el nombre de biyectiva, y su inverso es tambien una función total.
Una secuencia es una sucesión ordenada de elementos como "2, 4, 6, 8" que son los números pares menores que 10. Ordenados de menor a mayor, porque a diferencia de un conjunto, en una secuencia sí importa el orden: 1,2,3 no es igual a 2,3,1.
Además la repetición de elementos sí es relevante: 1,2,3 = 1,2,2,3.




Una función es total cuando incluimos a todos los elementos del dominio. Ej.200px-Funcion_total_svg.png 1Es parcial cuando la función está definidia solamente para algunos elementos del dominio. Ej.

200px-Funcion_parcial_svg.png
1







1:
Wikipedia- Función Parcial