Son conjuntos cuyo tamaño no puede expresarse con un número.

Para la comparación de tamaño de conjuntos infinitos se aplica "el principio del palomar" que nos sirve para comprobar si dos conjuntos tienen el mismo tamaño o no.
Suponiendo que queremos comprobar si la cantidad de las palomas es mayor, menor o igual a la cantidad de posiciones disponibles que tiene el palomar. Una manera simple de hacerlo sería acomodar a cada una de las palomas en un lugar disponible, así verificaríamos si la cantidad de palomas es igual a la de los lugares.
Conjuntos Infinitos:
Cuando se define un conjunto hay que saber que no sólo existen los conjuntos finitos (conjuntos con un número específico de caracteres) sino también conjuntos infinitos.
El tamaño de un conjunto infinito no puede ser expresado con un número, los a los conjuntos se les pueden aplicar todas las aplicaciones antes aprendidas.
Un ejemplo de un conjunto infinito es el de los números naturales definido como {1,2,3,4,5......}.

Cuando uno intenta comparar dos conjuntos no es tan simple como las otras operaciones, pero se puede simplificar mediante el método del palomar que es usado para comparar si dos conjuntos tienen o no el mismo tamaño.
El método del palomar se derivó de una anécdota que cuenta la historia de un palomar con un número definido de lugares disponibles para alojar palomas. El método consiste en revisar si en el palomar es posible alojar un número determinado de palomas(que luego será el conjunto "A") y comparar con el número de lugares en el palomar(que luego será el conjunto "B").

Un ejemplo del uso del método del palomar es el siguiente:
Se comparan el conjunto de los números naturales con los números pares. Intuitivamente uno pensará que el conjunto de los números pares es más grande que el conjunto de los números naturales. Al examinarlos con el método del palomar uno obtiene lo siguiente: A cada número natural se le asignará un número par. Así se le asignara al natural 1 se le asignara el par 2 al natural 2 se le asignara el par 4 y así sucesivamente. Haciendo ésto se llega a la conclusión de que para cada número naturales existe un número par, y se sabe que los conjuntos tienen el mismo tamaño.
Conjuntos contables:
Un conjunto es contable, también llamado enumerable, cuando sus elementos pueden ponerse en una fila ordenada, es decir que pueden ponerse en correspondencia con uno a uno con los números naturales.
Un ejemplo de conjunto infinito contable es el de los números pares y para definirlo como contable se escribe así:

external image gif.latex?%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cleft%20(%202,%201%20%5Cright%20)%20,%20%5Cleft%20(%204,%202%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(%206,%203%20%5Cright%20),%20%5Cleft%20(8,%204%20%5Cright%20)...%5Cright%20%5C%7D
En éste cada número par es puesto de manera correspondiente a un número natural.
Éste ejercicio se comprueba como lo hicimos anteriormente con el método del palomar.
A cada número natural se le asignará un número par. Así se le asignara al natural 1 se le asignara el par 2 al natural 2 se le asignara el par 4 y así sucesivamente. Haciendo ésto se llega a la conclusión de que para cada número naturales existe un número par, y se sabe que los conjuntos tienen el mismo tamaño.

Sorprendentemente hay conjunto infinitos mas grandes que otros, a éstos se les llama conjuntos incontables.

Un ejemplo de éstos es el teorema de Kantor.

"Consideremos una función cualquiera f de A en el conjunto de partes de A, entonces demostrar el teorema de Kantor requiere probar que f no es sobreyectiva (exhaustiva). Y para probar que f no es sobreyectiva basta encontrar un subconjunto de A que no sea la imagen de ningún elemento de A a través de f. Cantor consideró un conjunto particular B definido como:
B=left{,xin A : xnotin f(x),right}.
B=left{,xin A : xnotin f(x),right}.

Y probó que ese subconjunto no puede ser la imagen de ningún elemento de A. El argumento que construyó Cantor es por reducción al absurdo presuponiendo de partida que f sí es sobreyectiva, y entonces el argumento va como sigue:
  1. Puesto que f es sobreyectiva, entonces existe
    ain A: B = f(a)
    ain A: B = f(a)
    puesto que B es un subconjunto de A.
  2. Ahora tratemos de ver si
    ain B
    ain B
    o bien
    anotin B
    anotin B
    . Supongamos en primer lugar que a pertenece a B, entonces por la definición de B se tiene que a no pertenece, lo cual es contradictorio. Por otro lado si suponemos que a no pertenece a B, entonces por la definición de B, a debe ser un elemento de B lo cual es una contradicción de nuevo.
  3. Por tanto llegamos al caso de que si existe un a cuya imagen sea el conjunto B entonces irremisiblemente llegamos a contradicción, por tanto la única salida es suponer que dicho a no existe y por tanto f no puede ser sobreyectiva, como queríamos demostrar."[1]

  1. ^ http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cantor